Question

已知Rt△ABC中∠ACB=90°∠BAC=30°分别以AB、AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE连接DE交AB于点F求DF=EF

Answer 1

如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
∠DGB=∠ACB∠DBG=∠ABCDB=AB，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
∠DGF=∠EAF∠DFG=∠EFADG=EA，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．

Answer 2

过D 做DG⊥AB
∵△ABD是等边
∴AD既是高又是中线
引为∠A=30°
∴BC=AG=BG
∴△AGD≌ACB
∴DG=AC
∵AC=AE
∴DG=AE
∠EAF=∠EAC=CAB=90°
∠AEF=GDF
∴三角形AEF全等GDF
∴EF=DF