Question

已知：如图，∠AOB外有一点P，试画出点P关于直线OA的对称点P1，再画出点P1关于直线OB的对称点P2

试探索∠POP2与∠AOB的数量关系，为什么？？（2）若点P在∠AOB的一边上，上述结论还能成立吗？为什么？
第二个是在∠AOB的一边上，不是在内部，还要说明理由

Answer 1

应该是∠P1OP2与∠AOB的关系吧

P1是P关于OA的对称点，所以OA是PP1的中垂线，OP=OP1，三角形P1OP是等腰三角形，∠P1OA = ∠AOP（等腰三角形三线合一）
同理，∠P2OB = ∠BOP
∠AOB=∠AOP+∠BOP
∠P1OP2 = ∠P1OA+ ∠AOP+ ∠P2OB + ∠BOP
= 2（∠AOP+∠BOP）
=2∠AOB

P在AOB的一边上，设在OB上，则P的对称点只有一个，为P1
则
P1是P关于OA的对称点，所以OA是PP1的中垂线，OP=OP1，三角形P1OP是等腰三角形，∠P1OA = ∠AOP（等腰三角形三线合一）
∠AOP=∠AOB
∠P1OP=∠AOP+∠P1OA = 2∠AOP=2∠AOB

Answer 2

∠POP2=2∠AOB，由三角形全等可证，画图就出来了。

Answer 3

1：如P点在角内，由于PP1垂直于OA,P1P2垂直于OB，故有∠PP1P2与∠AOB的数量关系是相等。用相似形可证明。
2：如P点在OA上即其中一条边上，P1与P重合，P2关于OB对称，这样P1P2与角AOB呈直角三角形，上述结论不能成立。
3：如 P点在角外： PP1垂直于OA，P1P2垂直于OB，形成封闭四边形，除两个直角外，所问两角∠PP1P2与∠AOB的数量关系是和等于180度。因为四边形的内角和是360度。