Question

求y=x+1/x的单调区间，用定义法证明

Answer 1

当x>1时，
令x1>x2>=1,

则，f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
因为，x1>x2>=1,所以，x1-x2>0；(1-1/x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以，当x∈[1,∞）时，f(x)为增函数

当0<x<1时，令0<x1<x2<1
则，x1-x2<0, x1*x2<1, 1-1/x1*x2<0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以当x∈(0,1）时，f(x)为减函数

当-1<x<0时，令-1<x1<x2<0
则x1-x2<0, x1*x2<1, 1-1/x1*x2<0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以当x∈(-1,0）时，f(x)为减函数

当x<=-1时，令x1<x2<=-1
则，x1-x2<0, x1*x2>1, 1-1/x1*x2>0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)<0
所以当x∈(-∞,-1）时，f(x)为增函数

所以，单调增区间为（-∞，-1]∪[1，∞）,
单调减区间为(-1,0）∪（0，1）

Answer 2

这是对勾函数
增区间（-∞，-1）和（1，+∞）
减区间 (-1,0)和(0,1)
在（-∞，-1）和（1，+∞）区间
设x1∠x2
则有y2-y1=x2-x1+1/x2-1/x1=（x2-x1）（1-1/x1x2）>0
所以函数在（-∞，-1）和（1，+∞）区间是增函数
在 (-1,0)和(0,1)
设x1∠x2
则有y2-y1=x2-x1+1/x2-1/x1=（x2-x1）（1-1/x1x2）
x2-x1>0 x1x2∠1
所以y2-y1∠0
所以函数在
(-1,0)和(0,1)是减函数

Answer 3

明：
设0<x1<x2，y1=x1+1/x1，y2=x2+1/x2，
y1-y2=x1-x2+1/x1-1/x2
=x1-x2-(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
当0<x1<x2<1时，(x1-x2)(1-1/x1x2)>0，此时y为减函数
当1<x1<x2时，(x1-x2)(1-1/x1x2)<0，此时y为增函数。
因此，该函数的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间(1,+无穷).

Answer 4

你分别设F(X+1)>F(X) 解不等式为单调増区间
设F(X+1)<F(X) 解不等式为单调减区间

Answer 5

求导分区间来解决