Question

设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(X,Y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

(1)求常数a,b,c
(2)(X,Y)的概率密度
解：由分布函数性质知：F(+∞,+∞)=a(b+π/2)(c+π/2)=1
F(x,-∞)=a(b+arctanx)(c-π/2)=0
F(-∞,y)=a(b-π/2)(c+arctan2y)=0
从上面第二式得c=π/2,,从第三式得b=π/2,再得a=1/π^2..
我不知道题中的π/2哪来的？怎么知道的？算的思路是什么？
（2）F(x,y)=1/π^2(π/2+arctanx)(π/2+arctan2y)
从而概率密度为f(x,y)=2/π^2(1+x^2)(1+4y^2)

也不知道这怎么来的？结果的算来是求导数吗？
谢谢了！我没有财富值了，所以不能给了，答案详细点好。谢谢

Answer 1

①首先，我们可以认为tan(π/2)=+∞，这是自然的，因此可以说arctan(+∞)=π/2
第一问的π/2就是这么来的，把x、y都带成+∞，然后分布函数的意思就是x<+∞,y<+∞的概率，就是全平面的概率，等于1，得到a(b+π/2)(c+π/2)=1。
②对于密度函数，先对x积分，再对y积分（都是变上限积分，从-∞积分到x和y），可以得到分布函数。因此知道分布函数，求密度函数，只要先对x求导，再对y求导就可以。也就是
f(x,y)=partial² F(x,y)/(partial x partial y)（先对x求偏导数再对y求偏导数，是二阶混合偏导数）

楼主再看看课本上关于分布函数的概念、意义以及公式吧，有什么不对的可以追问。

Answer 2

WF