Question

2005年考研数学一的那道曲线积分与路径无关的题，看了答案不是很懂，我想这么做 不知对不对

还有恒为常数 那个常数是0吗

Answer 1

证明：
为了清楚起见，先按照下面的叙述和记法在坐标系中把图作出来：
作出X>0内的那条任意分段光滑的简单闭曲线C【逆时针方向】；
在C上任取两点A和B，A在上，B在下；
则点A和B把C分成两段曲线弧，记为弧AB左以及弧BA右；
以点A为始点，点B为终点，自上而下，作一条包含原点的曲线，记为C1【逆时针方向】；
现在得到以下两条闭曲线：一条是C1+弧BA右，叫做L1【逆时针方向】，
另一条是C1+弧BA左，叫做L2【逆时针方向】（注意弧BA左与弧AB左是方向相反的同一段曲线弧）。 作图完毕。

由题设条件，可有∫（L1）=∫（L2）=同一常数，
于是∫（C）=∫（弧BA右）+∫（弧AB左）
=∫（弧BA右）-∫（弧BA左）
=【∫（弧BA右）+∫（C1）】-【∫（C1）+∫（弧BA左）】
=∫（L1）-∫（L2）=0。 证明完毕。

又，关于“还有恒为常数 那个常数是0吗”：
可以求出那个常数是0：
注意到题设条件“在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数”，
现在利用L的任意性来求该常数：
取L0为由y=-1，x=1，y=1，x=-1所围正方形的边界线【逆时针方向】，
则由题设条件可得∫（L0）=该常数，
又经计算可以求出∫（L0）=0，于是得到该常数=0。

追问

这个方法我知道 所有的答案书上都是这样证明的 我是想问一下上面那种做法对吗 因为看了好多本书都没有用别的方法证明的

追答

上面那种做法存在两个问题：
一个是，两个偏导数相等没有支撑条件；
另一个问题是，C1，C2方向相同欠妥。

Answer 2

是

追问

？？

追答

对