Question

高中数学题，急用，后两问

已知a为实数，f（x）=（x2-4）（x-a）．
（1）求导数f′（x）．
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

1)f'(x)=(x^3-ax^2-4x+4a)'=3x^2-2ax-4
2)f'(-1)=3*(-1)^2-2a*(-1)-4=2a-1=0 ====>a=1/2
所以令f'(x)=3x^2-x-4=0可解得：x=-1，或x=4/3
所以令f'(x)>=0可解得：x>4/3或x<-1;令f'(x)<0可解得：-1<x<4/3
综合-2<=x<=2，可得：f(x)在[-2,-1)∪[4/3,2]为增函数，在[-1,4/3)为减函数。
f(-2)=...=0,f(-1)=...=9/2,f(4/3)=...=-50/27,f(2)=...=0.
综合单调性即可判断所求最大值为9/2，最小值为：-50/27.
3)f'(x)=3x^2-2ax-4，显然方程f'(x)=0的判别式4a^2+48>=12>0，
令f'(x)=0可解得：x=[a-√(a^2+12)]/3,或x=[a+√(a^2+12)]/3.
同第二问，可知f(x)在x<[a-√(a^2+12)]/3和x>=[a+√(a^2+12)]/3是增函数，
在[a-√(a^2+12)]/3<=x<[a+√(a^2+12)]/3是减函数。
要使f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞]上都是递增的，则只需同时满足以下两个要求：
①[a-√(a^2+12)]/3>=-2
②[a+√(a^2+12)]/3<=2
解得：-2<=a<=2

Answer 2

1)f'(x)=(x^3-ax^2-4x+4a)'=3x^2-2ax-4
2)f'(-1)=3*(-1)^2-2a*(-1)-4=2a-1=0 ====>a=1/2
可解得：x=-1，或x=4/3
可解得：x>4/3或x<-1;令f'(x)<0可解得：-1<x<4/3
综合-2<=x<=2，可得：f(x)在[-2,-1)∪[4/3,2]为增函数，在[-1,4/3)为减函数。
f(-2)=...=0,f(-1)=...=9/2,f(4/3)=...=-50/27,f(2)=...=0.
综合单调性即可判断所求最大值为9/2，最小值为：-50/27.
3)f'(x)=3x^2-2ax-4，显然方程f'(x)=0的判别式4a^2+48>=12>0，
令f'(x)=0可解得：x=[a-√(a^2+12)]/3,或x=[a+√(a^2+12)]/3.
同第二问，可知f(x)在x<[a-√(a^2+12)]/3和x>=[a+√(a^2+12)]/3是增函数，
在[a-√(a^2+12)]/3<=x<[a+√(a^2+12)]/3是减函数。
要使f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞]上都是递增的，则只需同时满足以下两个要求：
①[a-√(a^2+12)]/3>=-2
②[a+√(a^2+12)]/3<=2
解得：-2<=a<=2

Answer 3

f′（-1）=0，把x=-1代入，可以得到a,然后判断增减性f′（x）在哪里>0就是增函数，<0就是减函数，得到最大最小值
在（1）的基础上，得出在（-∞，-2）和[2，+∞]上f′（x）>=0，结合一元二次图像f′（-2）>=0,f′（2）>=0，得到a的取值范围