Question

已知∠AOB过角内一点P做一条直线交AO,BO于点M,N用尺规作图画出使三角形OMN面积最小的直线

Answer 1

第一步：分析所求直线的位置

如图，假设所作直线为MN，连接OP，过M、N分别作直线OP的垂线，垂足分别为C、D。

则ΔMCP∽ΔNDP，于是：

也就是说，当点P平分线段MN时，ΔMON的面积取得最小值。

第二部：作图

(1)过P作直线OB的平行线，交OA于点G

作平行线的过程：在直线OB上靠近P点的地方取两点E、F。以P为圆心、EF长为半径画弧(图中粉色那个的弧)，再以F为圆心、PE长为半径画弧(图中褐色那个的弧)，两弧交点为Q，易知四边形P、E、F、Q为平行四边形，于是PQ∥EF。

(2)在直线GA之间截取一点M，使MG=OG，连接MP交OB于N，则直线MN就是所求的直线

Answer 2

作法：1）∠AOB的平分线OC；

           2）过点P作直线MN⊥OC，交OA、OB于点M、N；

          △OMN即为所求。

证明：过点P任意作直线交OA、OB于点D、E。

设PD>PE，在PD上截取PF=PE，过点F和FG∥OB交MN于点F。

易证△PFG≌△PEN，即S△PFG=S△PEN，

因S△PMD>S△PFG(全量大于局部)，所以S△PMD>S△PNE，

得S△PMD+S五边形OMPE>S△PNE+S五边形OMPE，即：S△ODE>S△OMN，

就是：S△OMN为最小。

所以，△OMN即为所求作的三角形。（证毕）