Question

求解线性代数方程组

方程组
k*x1+x2+x3=1
x1+k*x2+x3=k
x1+x2+k*x3=k平方
当为何值时有唯一解？有无穷多个解？无解？

Answer 1

解：
k 1 1
设矩阵A= 1 k 1
1 1 k

k 1 1 1
增广矩阵B=（A，b）= 1 k 1 k
1 1 k k²
r1和r3对换得
1 1 k k²
1 k 1 k
k 1 1 1
r2-r1，r3-kr1得
1 1 k k²
0 k-1 1-k k-k²
0 1-k 1-k² 1-k³
r3+r2得
1 1 k k²
0 k-1 1-k k-k²
0 0 2-k²-k 1-k³+k-k²
-r3得
1 1 k k²
0 k-1 1-k k(1-k)
0 0 (k+2)(k-1) (k+1)²(k-1)
①当k≠-2且k≠1时，R(A)=R(B)=3，方程组有唯一解；
②当k=-2,时，R(A)=2，R(B)=3，方程组无解；
③当k=1时，R(A)=R(B)=1，方程组有无穷多个解。
这时 1 1 1 1
B = 0 0 0 0
0 0 0 0

此时方程为 x1+x2+x3=1
故通解为x1=1-x2-x3 （x2和x3为任意实数）

Answer 2

(A,b)=[k 1 1 1; 1 k 1 k; 1 1 k k^2]->[1 k 1 k; 0 1-k^2 -k 1-k^2; 0 0 k^2+k-1 (k+1)(k^2-1) ]
1. k=0， 2^0.5， -2^0.5，有唯一解。其中k=0时, x1=-1, x2=1, x3=1; k=2^0.5时, x1=1, x2=1-2^0.5, x3=1; k=-2^0.5时，x1=1, x2=1+2^0.5, x3=1
2. k=-1 或者k=1时，矩阵第三行全部是0，x3可任取，有无穷多解。
3. k=(-1+5^0.5)/2，或者(-1-5^0.5)/2时，x3系数为0，但是常数项不等于零，所以无解。

Answer 3

Gramer法则吧，方程个数和变数个数一样多