Question

已知矩阵乘积AB,如何求BA?（这一类题）。 下面是一个具体例子：

Answer 1

一般来讲不要指望能通过AB唯一确定BA，这种习题都是凑过的，才可能有唯一解。
当然，AB和BA是有一定联系的，把常用的几种关系用上去就可以应付这种题目。

注意AB比BA多一个零特征值，所以可以先把AB的特征值求出来（9,9,0），所以rank(A)=rank(B)=2。（到这里已经有理由猜测BA=9I了，否则一旦不可对角化就难以保证唯一）
既然A和B都满秩，存在单侧的逆矩阵，即存在2x3的矩阵X和3x2的矩阵Y使得XA=BY=I_2，于是
BA=XABABY
经过计算不难发现ABAB=9AB，所以BA=9XABY=9I