Question

已知f(x)=x三次方+x+1,求证：1.f(x)是R上的增函数。2.满足等式f（x）=0的实数x至多只有一个。

速度，好的加分，

Answer 1

　　解：(1) 设 x1，x2是R上任意两个实数且x1 < x2
　　则 f(x1) - f(x2) = (x1³ + x1 + 1) - (x2³ + x2 + 1)
　　= (x1³ - x2³) + (x1 - x2)
　　= (x1 - x2)(x1² + x1x2 + x2² + 1)
　　= (x1 - x2) [(x1 + 0.5x2)² + 0.75x2² + 1]

　　因为 x1 - x2 < 0
　　所以f(x) 是 R 上的增函数 ⑴

　　(2) 假设x1 、x2是满足等式f(x) = 0的两个实数，并且，x1 < x2 ⑵
　　根据 x1 < x2，且由⑴的结论知道，所以f(x) 是 R 上的增函数， 所以f(x1) < f(x2)
　　因为 f(x1) = 0, f(x2) = 0 →→→→→这里等于0的原因是因为假设x1 、x2是满足等式f(x) = 0
　　所以得到错误的结果 0 < 0，这是不可能的，其原因是因为假设⑵．
　　所以，满足等式f(x) = 0的实数x的值至多只有一个.

Answer 2

1、f'(x)=3x^2+1>0
所以f(x)在R上是增函数。
2、假设有多个，分别为：x1、x2、x3、x4.....且有：
x1<x2<x3<x4.....
则有：f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4).......
因：f(x)在R上是增函数。
所以有：f(x1)<f(x2)<f(x3)<f(x4)...... 与上面的结论相矛盾，所以假设不成立
因此有等式f（x）=0的实数x至多只有一个。

追问

是x三次方+x+1不是3x²+1啊。。

追答

f'(x) 这是原函数的导数!

当导数大于0时，原函数为增函数，如果你没学过导数，下面我用定义证明：

证明：设x10
x2²+x1²≥2|x1x2|>x2x1
所以有：2|x1x2|+x2x1>0
所以可得：f(x2)-f(x1)>0
即：f(x2)>f(x1) 即：f(x)在R上是增函数。