Question

[f(x1)-f(x2)]^2>[g(x1)-g(x2)]^2(x1≠ x2)恒成立，且f(x)是R上的增函数，判断F(x)=f(x)+g(x)

和G(x)=f(x)-g(x)的增减性

Answer 1

设x2>x1
[f(x1)-f(x2)]^2>[g(x1)-g(x2)]^2
因为f(x)是R上的增函数，所以f(x)-f(x2)<0
当g（x）是增函数时，有g（x1）-g（x2）<0
所以f(x1)-f(x2)<g（x1）-g（x2）
当g（x）是减函数时，有g（x1）-g（x2）>0
所以f(x1)-f(x2)<-[g（x1）-g（x2）]
所以f(x1)-f(x2)<g（x2）-g（x1）

对于F(x)=f(x)+g(x)
F（x2）-F（x1）=f（x2）-f（x1）+g（x2）-g（x1）
当g（x）是增函数时，F（x2）-F（x1）>0，函数增
当g（x）是减函数时，因为f(x1)-f(x2)<g（x2）-g（x1），所以f(x2)-f(x1)>g（x1）-g（x2）
所以F（x2）-F（x1）=f（x2）-f（x1）+g（x2）-g（x1）=f（x2）-f（x1）-[g（x1）-g（x2）]>0
函数是增函数
所以F（x）是增函数

对于G(x)=f(x)-g(x)
G（x2）-G（x1）=f（x2）-f（x1）-[g（x2）-g（x1）]
当g（x）是增函数时，因为f(x1)-f(x2)<g（x1）-g（x2），所以f(x2)-f(x1)>g（x2）-g（x1）
所以G（x2）-G（x1）>0.，函数增
当g（x）是减函数时，因为f(x1)-f(x2)<g（x2）-g（x1），所以f(x2)-f(x1)>-[g（x2）-g（x1）]，
所以G（x2）-G（x1）>0.，函数增
所以函数是增函数

哎，题特麻烦，分太少了