Question

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、、b、c,已知向量m=(cos3A/2,sin3A/2),向

向量n=（cosA/2,sinA/2),且满足绝对值m+n=根号3，若b+c=2a,判断三角形ABC的形状

Answer 1

（1）。向量m+向量n=(cos3A/2+cosA/2,sin3A/2+sinA/2)
那么|m+n|=√[(cos3A/2+cosA/2)^2+(sin3A/2+sinA/2)^2]
=√[(cos3A/2)^2+(sin3A/2)^2+(cosA/2)^2+(sinA/2)^2+2cos3A/2*cosA/2+2sin3A/2*sinA/2]
=√[2+2cos(3A/2-A/2)]=√(2+2cosA)=√3
去根号得到：2+2cosA=3
cosA=0.5
因为A为三角形的内角，所以A=60°
（2）。因为b+c=√3a,由正弦定理有：sinB+sinC=√3sinA=√3*sin60°=3/2
因为A+B+C=180°,C=180°-B-A
,那么，sinC=sin(180°-B-A )=sin(B+A)=sin(B+60°)=0.5sinB+√3/2cosB
所以：sinB+sinC=sinB+0.5sinB+√3/2cosB=√3(√3/2*sinB+0.5cosB)=√3sin(B+30°)=3/2
所以sin(B+30°)=√3/2
B=30°或B=90°
当B=30°时，C=90°
所以△ABC为直角三角形