Question

x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为2√3/3，左右焦点分别为F1 F2 双曲线上有一点M，MF1⊥MF2 三角形MF1F2面积为1

求方程

Answer 1

解答：
c/a=2√3/3=2/√3
设c=2t, a=√3t
则 b=t
不妨设M点在右支上
MF1-MF2=2a=2√3t ----->MF1²+MF2²-2MF1*MF2=12t² （1）
∵ MF1⊥MF2
MF1²+MF2²=(2c)²=16t² （2）
（2）-（1）
2MF1*MF2=4t²
S=MF1*MF2/2=t²=1
∴ t=1
∴ a=√3，b=1
方程为x²/3-y²=1

Answer 2

分析，
假设M点在双曲线的右只上，
根据双曲线的性质，
MF1-MF2=2a,
F1F2=2c，
又，MF1⊥MF2
∴MF1²+MF2²=(F1F2)²【勾股定理】
(MF1-MF2)²+2MF1*MF2=(F1F2)²
∴MF1*MF2=2(c²-a²)
S(△MF1F2)
=1/2*MF1*MF2=1
∴c²-a²=1
又离心率e=c/a=2√3/3
解出，c=2，a=√3
∴b=1
∴双曲线的方程为：
x²/3-y²=1.