Question

已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC 求证：

（1）AM平分∠DAB
（2）∠AMD=90°
（3）AD=CD+AB

Answer 1

取AD中点N，连接MN，则MN是直角梯形ABCD的中位线，
可得：MN∥AB∥CD；
则有：∠NMA = ∠BAM ，∠NMD = ∠CDM ；
（1）
已知：DM平分∠ADC，
即有：∠CDM = ∠ADM ，
可得：∠NMD = ∠CDM = ∠NDM ，
则有：NM = ND = NA ，
可得：∠NAM = ∠NMA = ∠BAM ，
即有：AM平分∠DAB；
（2）
∠AMD
= ∠NMA+∠NMD
= (1/2)[(∠NAM+∠NMA)+(∠NMD+∠NDM)]
= (1/2)(∠NAM+∠AMD+∠NDM)
= (1/2)*180°
= 90°
（3）
延长AM，交DC延长线于点E，
因为，在△ABM和△ECM中，∠AMB = ∠EMC ，BM = CM ，∠ABM = 90° = ∠ECM ，
所以，△ABM ≌ △ECM ，
可得：AB = CE ，∠BAM = ∠CEM ；
因为，∠DAM = ∠BAM = ∠DEM ，
所以，AD = DE = CD+CE = CD+AB 。

Answer 2

亲~我也在写...