Question

利用数学归纳法，证明对于所有正整数n, 2^(2n+1)-9n²+3n-2能被54整除。很急啊，谢谢了！！

Answer 1

k=1时，原式=2³-9+3-2=0，能被54整除。
假设k=n时结论成立，即2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2能被54整除。
当k=n+1时，原式变为2⁽²⁽ⁿ⁺¹⁾⁺¹⁾-9(n+1)²+3(n+1)-2
=4·2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²-18n-9+3n+1
=4·[2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2]+36n²-12n+8-9n²-18n-9+3n+1
=4·[2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2]+27n²-27n
=4·[2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2]+27n(n-1)
已知[2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2]能被54整除，由于n和(n-1)之中必有一个是偶数，n(n-1)必能被2整除，故27n(n-1)也能被27×2=54整除。
于是4·[2⁽²ⁿ⁺¹⁾-9n²+3n-2]+27n(n-1)能被54整除，k=n+1时结论也成立。

Answer 2

等于n时 2^(2n+1)-9n²+3n-2=54t
等于n+1时2^(2n+3)-9（n+1）²+3（n+1）-2=4（54t+9n²-3n+2）-9（n+1）²+3（n+1）-2
=27n（n-1）+4*54t
显然整除54

追问

27n（n-1）+4*54t 这步我不是太懂

追答

是4（54t+9n²-3n+2）-9（n+1）²+3（n+1）-2=27n（n-1）+4*54t 这是化简来的，这不懂？？
=27n（n-1）+4*54t 证明整除54只需要
n（n-1）整除2这很显然，估计这不用证
你也可以把n=2k 2k+1代入即证