Question

如图,在△ABC中点P是边上的一点,分别在边AB,AC上求做点M,N,使△PMN的周长最短

Answer 1

先分别求P关于AB,AC的对称点E,F. PE,PF分别.交AB于P',交AC于P'',
连EF与AB,AC分别交于M,N 连P,M,N,,三角形PMN的周长.=∣PM∣+∣MN∣+∣PN∣ (因 ∣PM∣=∣EM∣，∣PN∣=∣FN∣）
则PMN的 周长 =∣EM∣+∣MN∣+∣FN∣=∣EF∣ 最小.
证明：设Q1，Q2分别是AB，AC上不同于M,N的任意两点，连EQ1，FQ2，
则三角形PQ1Q2的周长=∣PQ1∣+∣Q1Q2∣+∣PQ2∣ （∣PQ1=∣EQ1∣，∣PQ2∣=∣FQ2 ∣）
=∣EQ1∣+∣Q1Q2∣+∣FQ2∣ 〉∣EF∣ （折线长〉直线段长）。
所以三角形PQ1Q2的周长大于三角形PMN的周长.
所以三角形PMN的周长最小,为∣EF∣。