Question

一个数学问题，不会做，求解啊！！

For each function find the vertical（竖直）asymptotes and horizontal（水平） asymptotes(渐近线), if any:
a）f(x) ＝（x＋3）÷（x²－4） b) f(x) ＝(x²－9) ÷(x²＋4x－21)

Answer 1

第一题：
∵lim(x→－2)［（x＋3）÷（x²－4）］＝∞，∴x＝－2是函数曲线的一条竖直渐近线。
∵lim(x→2)［（x＋3）÷（x²－4）］＝∞，∴x＝2也是函数曲线的一条竖直渐近线。

∵lim(x→∞)［（x＋3）÷（x²－4）］＝0，∴y＝0是函数曲线的一条水平渐近线。

第二题：
∵lim(x→－7)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝∞，∴x＝－7是函数曲线的一条竖直渐近线。

∵lim(x→3)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝∞，∴x＝3也是函数曲线的一条竖直渐近线。

∵lim(x→∞)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝lim(x→∞)［(2x) ÷(2x＋4)］＝1，

∴y＝1是函数曲线的一条水平渐近线。

追问

请问这类型的题求horizontal asymptotes这个东西的时候都是按lim(x→∞）来求的吗？这个∞是包括正无穷和负无穷的意思吗？

追答

求水平渐近线都是用这种方法的。但不一定包括＋∞和－∞。
如：
函数y＝2^x，只有当x→－∞时，y→0。　函数y＝1/3^x，只有当x→＋∞时，y→0。
而y＝0既是y＝2^x的渐近线，也是y＝1/3^x的渐近线。

Answer 2

a)f(x) ＝（x＋3）÷（x²－4）

由函数f(x) ＝（x＋3）÷（x²－4）对应的曲线的间断点仅可能出现在

x²－4=0，即

x=2,或x=-2处

又∵lim(x→－2)［（x＋3）÷（x²－4）］＝∞，∴x＝－2是函数曲线的一条竖直渐近线。

    ∵lim(x→2)［（x＋3）÷（x²－4）］＝∞，∴x＝2也是函数曲线的一条竖直渐近线。

而求horizontal asymptotes（水平渐近线）这个东西的时候都是按lim(x→∞）来求的，这个∞是包括正无穷和负无穷。

 

∵lim(x→∞)［（x＋3）÷（x²－4）］＝0，∴y＝0是函数曲线的一条水平渐近线。

b) f(x) ＝(x²－9) ÷(x²＋4x－21)

由函数f(x) ＝(x²－9) ÷(x²＋4x－21)对应的曲线的间断点仅可能出现在

x²+4x-21=0，即

x=-7,或x=3处

 

∵lim(x→－7)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝∞，∴x＝－7是函数曲线的一条竖直渐近线。

而由罗必塔法则得

lim(x→3)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝3/5，∴x＝3不是函数曲线的一条竖直渐近线。

又∵lim(x→∞)［(x²－9) ÷(x²＋4x－21)］＝lim(x→∞)［(2x) ÷(2x＋4)］＝1，

∴y＝1是函数曲线的一条水平渐近线。

 

故 f(x) ＝(x²－9) ÷(x²＋4x－21)的竖直渐近线为:x＝－7;

水平渐近线为:y＝1.

如图.