Question

函数在某一点可导 导函数在该点不一定连续 举例说明

函数在某一点可导 导函数在该点不一定连续 举例说明（或者函数在某一点可导 在该点的临域不可导）
分段函数变限积分 只能保证在该点连续不能保证在该点可导的 不满足我问题的前提条件“在该点可导”

Answer 1

x≠0时，f(x)=x²sin(1/x)
x=0时，f(x)=0
这个函数在x≠0时，可得其导函数为f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)，也就是说，从这个式子来看，这个函数在x≠0时是存在导数的，且导函数是由基本初等函数函数构成的，因而在x≠0的部分是连续的。
现在来求x=0时是否是可导的，根据导数的定义
lim(a→0)[f(0+a)-f(0)]/a=lim[a²sin(1/a)-0]/a=lim[sin(1/a)/(1/a)]
因为sin(1/a)是有界的，1/a是趋近于无穷大的，因此上述极限等于0，故而原函数在x=0处的导数存在且等于0。
但是可以看到lim(x→0)f'(x)这个极限第一部分2xsin(1/x)=0，而第二部分cos(1/x)却不定，因此极限不存在，故而可以得到你的结论。
函数在某一点可导，但是导函数不一定连续。

楼上的把题目看清楚了，可导说明原函数必定连续，人家问的是导函数连不连续，不在一个阶上。

Answer 2

你把任何一个分段函数进行变限积分，得到的都是可导 导函数在该点不连续的函数
f(x)=x^2sin(1/x)，x不为0，x=0，函数为0.

Answer 3

命题就是错的，可导必连续