Question

△ABC中，AD是BC边上的高，AB+BD=AC+CD,求证：AB=AC

Answer 1

证明：根据余弦定理,得
AD²=AB²-BD²=AC²-CD² ，
即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD） （1）
由于AB+BD=AC+CD ， (2)
则（1）式可变为：AB-BD=AC-CD ， (3)
将式子（2）+（3），则得：
AB+BD+（AB-BD）=AC+CD+（AC-CD）
2AB=2AC
即AB=AC。
希望你能满意！

Answer 2

AB-CD=AC-BD
平方：AB²+CD²-2AB*CD=AC²+BD²-2AC*BD
变形：AB²-BD²-2AB*CD=AC²-CD²-2AC*BD
即:AB*CD=AC*BD
ADB=ADC=90
ADB相似ADC
B=C
AB=AC
法2
双向延长BC取BE=BA CF=CA得BD=DF
可证AE=AF E=F=AEB=FAC 得BAE全等CAF
AB=AC