Question

d/dt (2t^2+200t+500)/(t+50)求解

有一个公式

有人解为

求，这个是否为正确的解？ 求过程啊，谢谢各位好心人了





Answer 1

解方程：dm/dt=4-m/(50+t)............(1)
解：先求齐次方程dm/dt+m/(50+t)=0的通解。
分离变量得dm/m=-dt/(50+t)；积分之得lnm=-ln(50+t)+lnC′=ln[C′/(50+t)]，
故m=C′/(50+t)；
将任意积分常数换成m的函数u，得m=u/(50+t)...........(2)；
对t取导数得dm/dt=[(50+t)(du/dt)-u]/(50+t)²=(du/dt)/(50+t)-u/(50+t)²............(3)；
将(3)和(2)代入原方程(1)得：(du/dt)/(50+t)-u/(50+t)²=4-u/(50+t)²
化简得(du/dt)/(50+t)=4
即有du/dt=4(50+t)，故u=4∫(50+t)dt=4(50t+t²/2)+C=2t²+200t+C
代入(2)式即得通解m=(2t²+200t+C)/(50+t)
若给定初始条件：t=0时m=10，那么可由10=C/50，求得C=500；这时原方程的特解即为：
m=(2t²+200t+500)/(50+t).

Answer 2

dm/dt+(1/(50+t))m=4
这是一阶线性微分方程，用通解公式：
m=e^(-∫dt/(50+t)(C+∫4e^(∫dt/(50+t))dt
=(1/(50+t))(C+∫4(50+t)dt
=(1/(50+t))(C+200+2t^2)
=(C+200+2t^2)/(50+t)

要求出C，需要知道条件：比如m(0)=?