Question

设二维随机变量（X,Y）的分布函数为F(X,Y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

(1)求常数a,b,c
(2)(X,Y)的概率密度
解：由分布函数性质知：F(+∞,+∞)=a(b+π/2)(c+π/2)=1
F(x,-∞)=a(b+arctanx)(c-π/2)=0
F(-∞,y)=a(b-π/2)(c+arctan2y)=0
从上面第二式得c=π/2,,从第三式得b=π/2,再得a=1/π^2..
我不知道题中的π/2哪来的？怎么知道的？算的思路是什么？
（2）F(x,y)=1/π^2(π/2+arctanx)(π/2+arctan2y)
从而概率密度为f(x,y)=2/π^2(1+x^2)(1+4y^2)

也不知道这怎么来的？结果的算来是求导数吗？
谢谢了！，答案详细点好。谢谢

Answer 1

分布函数默认在－∞位置为0，＋∞位置取值为1，二维的分布函数也是如此，所以有2、3两个式子
一个是y取－∞分布为0，另一个是x取－∞
arctan（－∞）的值就是－π/2
在已知分布函数的的情况下求二维概率密度就是对分布函数进行二次偏导数计算，即偏x偏y导，就得出了结果。