Question

如图,AD是RT三角形ABC斜边上的高,角B的平分线BE交AD于点M,交AC于点E,AN垂直于BE,垂足为F,AN与BC交于点N，

求证：AN垂直平分ME.

Answer 1

证明：因为BE平分角B
所以∠DBM=∠ABE
又因为AD是高
所以∠DBM+∠BMD=90度
在直角三角形ABE中∠ABE+∠AEM=90度
所以∠AEM=∠BMD=∠AME
所以AM=AE
在直角三角形AMF和AEF中
因为AM=AE,AF=AF
所以直角三角形AMF和AEF全等
所以MF=EF
所以AN垂直平分ME

Answer 2

如上图所示，连接MN
在三角形ABQ和三角形NBQ中，
∠ABQ=∠NBQ,BQ=BQ,∠AQB=∠NQB=90°，则两个三角形全等，
得到AB=NB，AQ=NQ，
已知BE垂直于AN，MQ=MQ，则三角形AMQ和三角形NMQ全等，则∠MAQ=∠MNQ，AM=MN，
由于AB=BN，BM=BM，三角形AMB和三角形NMB全等，则∠MNB=∠BAM；
在三角形ADN中 ，AD垂直于DN ，则∠MNQ+∠MND+∠DAN=90°
在RT三角形ABC中 ，∠BAM+∠NAC+∠DAN=90° ，
即：∠MNQ+∠MND=∠BAM+∠NAC；由于∠MND=∠BAM 则：∠MNQ=∠NAC
在三角形AQE和三角形MNQ中，
∠MNQ=∠NAC，∠MQN=∠AQE=90°，AQ=NQ，两三角形全等，得MQ=QE，则Q为ME的中点，已知AN垂直于BE，则AN垂直平分ME

追问

其实不用这么麻烦，同样谢谢你。

Answer 3

解∵AN⊥BE
AQ=AQ
AM=AE
∴△AMQ全等△QEQ
∴MQ=QE
∴AN⊥评分ME