Question

高中数学求解，寻求帮助谢谢

设F是双曲线x²/a²-y²/b²=1的右焦点，双曲线渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2与A,B两点。若OA,AB,OB成等差数列，且向量BF和向量FA同向，则双曲线的离心率e的大小为多少？
【可以的话请画出图像，谢谢】

Answer 1

解：如图所示，要使得向量BF和向量FA同向，两条渐近线夹x轴的夹角不能大于45°。

       在△ABC中显然有∠AOF=∠FOB，对△用角平分线定律有：OB/OA=BF/FA，

              即：OB/OA=(AB-FA)/FA，化简整理可得：OA*AB=(OA+OB)*AF,

       又因为OA,AB,OB成等差数列，即有：OA+OB=2AB，

       联立上述两式并消去AB可得：OA=2FA。设OA=x，F(c,0)。

       再对RT△OAF用勾股定理可得：c^2=OA^2+AF^2=(5/4)x^2.----------(1)

       易知直线OA的方程为：y=bx/a，直线AF的方程为：y=(-a/b)*(x-c)

       联立两个直线方程可得A坐标为：(a^2c/(a^2+b^2),abc/(a^2+b^2))，由于c^2=a^2+b^2，

                 所以A坐标可表示为A(a^2/c,ab/c)，

       所以x^2=(a^2/c)^2+(ab/c)^2=(a^2b^2+b^4)/c^2=b^2(a^2+b^2)/c^2=a^2.----------(2)

       联立（1）（2）式可得：4c^2=5a^2     -----------(3)

       再将（3）式与c^2=a^2+b^2联立消去b即可解的离心率e=c/a=√5/2.

       

       这道题主要用到的一个定理就是角平分线定理，其他的都只是双曲线的基本应用，难度不是很大，希望对你有帮助！

Answer 2

e=√5/2