Question

已知数列 an 的首相为a1=2,且an+1=1/2(a1+a2+……+an)(n∈N+)

已知数列 an 的首相为a1=2,且an+1=1/2(a1+a2+……+an)(n∈N+)，记Sn为数列｛an｝的前n项和，则Sn=?

网上有一个回答是这样的：an=1/2*s(n-1),2an=s(n-1),2(sn-s(n-1))=s(n-1),2sn=3s(n-1),
sn=3/2(a(n-1)),sn=(3/2)^(n-1)s1,sn=(3/2)^(n-1)a1
sn=3^(n-1)/2^(n-2)
我不明白为什么2sn=3s(n-1),可以变到sn=3/2(a(n-1)),再变到sn=(3/2)^(n-1)s1？

Answer 1

an=1/2*s(n-1), 2an=s(n-1)
2(sn-s(n-1))=s(n-1), 2sn=3s(n-1),
sn=3/2*s(n-1)=3*an, an=1/3*sn, a(n+1)=1/2*sn
a(n+1)/an=(1/2)/(1/3)=3/2
∴an为公比为q=3/2，首项为a1=2的等比数列
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=2*(1-(3/2)^n)/(1-3/2)
=2*[(3/2)^n-1]/(1/2)
=4*[(3/2)^n-1]

Answer 2

a(n+1)=1/2(a1+a2+……+an)(n∈N+)
由上式可知Sn = 2*a(n+1) （1）
可推出S(n-1)=2*an （2）
已知：Sn - S(n-1) = an
所以，
Sn - S(n-1) = an = 1/2 *S(n-1)
Sn / S(n-1) = 3/2 ｛Sn｝是个等比数列，所以，
Sn=S1 * (3/2)^(n-1) = a1 * (3/2)^(n-1) = 2 * (3/2)^(n-1) = 3^(n-1)/2^(n-2)
验证：
根据a(n+1)=1/2(a1+a2+……+an)(n∈N+)
a1=2 s1=2
a2=1/2*a1=1 s2=1+2=3
a3=1/2*(a1+a2)=3/2 s3=1+2+3/2= 9/2
a4=1/2*(a1+a2+a3)=9/4 s4=1+2+3/2+9/4=27/4