Question

反常积分求解释

反常积分课本有一题求解释
∫ (b~a) dx/(x-a)^q 当0<q<1时收敛；当q>=1时发散。

当q=1时， 原式=ln(x-a)[b~a]
=ln(b-a) - lim[x→a+] ln(x-a)
=+∞ 怎么会等于+∞？lnx ,当x趋向0时没有意义吧？算+∞？

当q≠1时，b (x-a)^1-q
原式 = ∫ ───────[b~a]
a 1-q

=+∞ （当q>1时）为什么是+∞？当q>1时，式子分子应该变为1/(x-a)^│1-q│,
+∞ 是哪个算出来的？

Answer 1

你好！

x→a+ ， x - a →0+ ，ln(x-a)→ - ∞
【看y=lnx的图像就知道，x从右侧趋近0时，y趋于负无穷。注意趋近0不是等于0】
∴ln(b-a) - lim[x→a+] ln(x-a) = +∞

原式 = (x-a)^(1-q) / (1-q) | [a,b]
= 1/(1-q) * { (b-a)^(1-q) - lim[x→a+] (x-a)^(1-q) }
x-a→0+，1-q<0
∴lim[x→a+] (x-a)^(1-q) = +∞
(b-a)^(1-q) - lim[x→a+] (x-a)^(1-q) = - ∞
原式= +∞

Answer 2

ln0没意义！
lim[x→0+] lnx=-∞
你需要再返回去复习，极限，无穷小与无穷大的基本概念。