Question

设f(x)=lnx+a/x （a属于R）g(x)=x ，F(x)=f(1+e^2)-g(x)

设f(x)=lnx+a/x （a属于R）g(x)=x ，F(x)=f(1+e^2)-g(x)（x属于R）
（1）若函数上f(x)上任意一点p（X0，Y0）处的切线k<=1/2，求a的取值范围
（2）当a=0时若X1，X2属于R且 X1不等于X2，证明F{ (x1+x2)/2 }<{F(X1)+F(X2)}/2
(3)当a=0时若方程m{f(x)+g(x)}=1/2x^2(m>0)有唯一解,求m的值

Answer 1

解：f(x)=lnx+a/(x+1)
所以x>0且x不等于-1
当a=9/2，g(x)=f(x)-k=lnx+9/2(x+1)-k
g'(x)=1/x-9/[2(x+1)^2]=(2x-1)(x-2)/[x(x+1)^2]
令g(x)=0,即(2x-1)(x-2)/[x(x+1)^2]=0
解得：x=1/2或x=2
当0<x<1/2时，g'(x)>0,g(x)在（0,1/2）上单调递增，
当1/2<x<2,g'(x)<0,g(x)在（1/2,2)上单调递减
当x>2时，g'(x)>0,g(x)在[2,+∞)上单调递增
因为函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点
所以g(1/2)=-ln2+3-k<0
或g(2)=ln2+1.5-k>0
解得：3-ln2<k<ln2+1.5

Answer 2

1）函数f(x)的定义域为x>0.
k＝f '(x)=1/x-a/x²＝（x－a）/x²<=1/2
∴a>=-1/2x²+x=-1/2(x-1)²+1/2
∴ a∈[1/2，＋∞）
2) a=0时，
f(x)=lnx，g(x)=x ，F(x)=ln(1+e^2)-x
此是时 F(x)=ln(1+e^2)-x是一直线必有
F{ (x1+x2)/2 }={F(X1)+F(X2)}/2

所以题目有问题哦！

2）m{lnx+x}=1/2x^2有唯一解 (m>0)

Answer 3

（1）对f(x)求导，f(x)‘=x/1-a/x^2，由题得导数恒小于等于1/2，即求解x^2-2x+a>=0恒成立问题。答案：a>=1

Answer 4

第三问中 两式子相等且导数相等，得m=0.5，第二问应该不是直线一楼不对吧？