Question

是否存在幂集与自然数集等势的集合？

考虑一个交换群G，对于G中任意元素a有a*a=e，e为单位元素，那么
猜想：G的基K的幂集与G等势。
比如：K={a,b,c},G={e,a,b,c,ab,ac,bc,abc},card(K)=3,card(G)=8=2的3次方。
如果这个猜想是正确的，那么全体自然数对于异或运算构成这样一个群，单位元是0，则此群的基就是满足我问题中条件的集合？

其它细节参看http://hi.baidu.com/neuron13/blog/item/fc7f49efc65b3432adafd54e.html

Answer 1

是否存在幂集与自然数集等势的集合?
不存在。因为不存在比自然数集小的无限集（基础集合论知识），自然数是唯一的可数的无限集。因此不存在一个运算使得自然数集成为一个二阶循环交换群。

是否存在比连续统大的集合?
存在（基础集合论知识）。例：连续统的幂集比连续统大。连续统的幂集的幂集比连续统的幂集大。这些都属于不可数的无限集。

"从等势的角度来说，只存在两种无穷大的数集：自然数和连续统。"是错误的，可能原话的意思是可数与不可数两种。

对你的短消息的回答：
用无限位的所有二进位数表示的集，可以看出这个集其实并不与自然数集等势，因为如果数一下它的元素个数会发现共有2^N 个元素，所以它与自然数的幂集等势，即与连续统等势。就算用任何进位数表示，结果都是一样。

你可以在书中找到这样一个反证法：无论在有理数集与无限位的小数集之间作出怎样的一一对应，都可以找到一个无限位的小数，而且并没有一个有理数与之对应。因此有理数集与无限位的小数集不存在一一对应。同理可证自然数集与二进位数集的情况。

因此如果二进位数集能成为一个二阶循环交换群的话，那它的基就会与自然数集等势。

Answer 2

"从等势的角度来说，只存在两种无穷大的数集：自然数和连续统。"

这结论是错的，建议查查集合论的教材。

by the way,
"1>Gx是交换的；
2>对于任意a属于Gx，a#a=e，e是Gx中的单位元；"

2> 可推出 1>

Answer 3

设Card(K)=n.则由排列组合知识 有
Card(G)=C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,n)=2^n=Card(2^K);
C(n,k)表示从n个元素中取k个元素的组合数。

显然对于有限群，你的结论是正确的。但并不能断定无限群也对。
另外，全体自然数对于异或运算，定义是否合法？
0的异或是？？

Answer 4

我觉得你说得很对，存在