Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=3,a(n+2)=3a(n+1)-2an

(1)证明数列{a(n+1)-an}是等比数列
(2)求数列｛an｝的通项公式an
(3)求数列｛an｝的前n项和Sn
注：n+1和n+2都为角标 （过程要详细！急！！！）

Answer 1

（1）a（n+2）=3a（n+1）-2an
a（n+1）=a（n-1+2）=3a（n-1+1）-2a（n-1）=3an-2a（n-1）
a（n+1）-an=2*（an-a（n-1）） 即后一项是前一项的2倍， 所以{a（n+1）-an}是等比数列
通项公式=2∧n
（2）s{a（n+1）-an}=2∧（n+1）-2=a（n+1）-a1 a（n+1）=2∧（n+1）-1
an=2∧n-1
（3）求和即等比数列2∧n求和再减n
sn=2∧（n+1）-2-n

Answer 2

(1)
∵a(n+2)=3a(n+1)-2an
∴[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]
=[3a(n+1)-2an-an]/[a(n+1)-an]
=3[a(n+1)-an]/[a(n+1)-an]
=3
∴数列{a(n+1)-an}是等比数列

(2)
数列{a(n+1)-an}是等比数列，
公比为3，首项为a2-a1=3-1=2
∴a(n+1)-an=2*3^(n-1)
当n≥2时，
a2-a1=2
a3-a2=2×3
a4-a3=2×9
...............
an-a(n-1)=2×3^(n-2)
将上面n-1个等式相加:

an-a1=2+2×3+2×9+........+2×3^(n-2)
=2[3^(n-1)-1]/(3-1)=3^(n-1)-1
∴an=3^(n-1)-1+a1=3^(n-1)
当n=1时，上式也成立

∴数列｛an｝的通项公式
an=3^(n-1)

(3)
{an}为等比数列，公比为3，a1=1
前n项和 Sn=(3^n-1)/2

追问

第二问可不可以写成 a(n+1)-an=a1*q^n-1的形式 然后怎么往里代数？直接移项得出an？还有第一问里a(n+1）怎么就变成an了？？

追答

本例只能叠加，没有其它方法

追问

还有第一问里a(n+1）怎么就变成an了？？

追答

a(n+1)-an=2*3^(n-1)，

n为变量，将n换成n-1

an-a(n-1)=2*3^(n-2)

∴n≥2时
a2-a1=2 （n=2)
a3-a2=2×3 (n=3)
a4-a3=2×9 .......
...............
an-a(n-1)=2×3^(n-2)