Question

设数列﹛an﹜满足a1＝1／2，a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an，用数学归纳法证明an＝1／[n﹙n＋1﹚]

Answer 1

a1＋a2＋a3＋…＋an＝n²an，①
以n+1代n,得a1＋a2＋a3＋…＋a<n+1>＝(n+1)²a<n+1>,②
②-①，a<n+1>=(n+1)^2*a<n+1>-n^2*an,
∴a<n+1>=nan/(n+2),③
1）n=1时a1=1/2,公式成立；
2）假设n=k(k∈N+)时公式成立，即ak=1/[k(k+1)],那么
由③，a<k+1>=kak/(k+2)=1/[(k+1)(k+2)],
即n=k+1时公式也成立。
综上，对任意n∈N+,公式都成立。