Question

极限函数的唯一性怎么证明

lim Xn=a lim Xn=b 求证ab相等
唯一性的末尾可不可以写成a减b是零，所以二者相等，唯一性最后

Answer 1

证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a<b，根据极限的柯西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。
总存在一个δ1>0，当0<丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0<丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε<f（x）<a+ε①和b-ε<f（x）<b+ε②。
令δ=min{δ1，δ2}，当0<丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。
因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。
即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义：“ε可以任意小”矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。
证毕。

Answer 2

唯一性：
lim Xn=a lim Xn=b
由定义：
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|Xn-a|<ε/2
对上述ε>0，存在N2>0，当n>N2，有|Xn-b|<ε/2
因此，取N=max{N1,N2}
对上述ε>0，存在N>0，当n>N，有|Xn-a|<ε且|Xn-b|<ε/2
而，|b-a|=|Xn-a-Xn+b|<|Xn-a|+|Xn-b|<ε/2+ε/2=ε
故，a=b

保号性：
lim xn=a>0
由定义：
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|xn-a|<ε
由ε的任意性可知，上定义对任何ε都成立
不妨取ε=a/2
则有，|xn-a|<a/2
即，a/2<xn<3a/2
故有：
存在N>0，当n>N，有xn>a/2
同理可证a<0的情况

保号性的意义：
如果有一个数列an，其极限lim an=a>0
那么，我们可以知道，必定存在一个N，当n>N，所有的an>0
小于0同理

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