Question

问一道高中数学和函数有关的题目

Answer 1

1.f(x)的定义域为一切实数，说明ax²+ax+1是一个恒大于零的数。
①二次项系数a=0，符合条件。
②二次项系数a不为零，那么根据初中学习的二次函数的相关知识可以知道，此二次函数必须开口向上，而且二次函数最小值要大于零，也就是说函数图象要在x轴的上方。
所以，二次项系数a＞0，最小值（4-a）/4＞0.
所以0＜a＜4

2.f(x)的值域为一切实数，说明ax²+ax+1可以取到大于零的一切实数。
①二次项系数a=0，ax²+ax+1=1，不符合条件。
②同理，根据初中学习的二次函数的相关知识分析，开口向上，最小值小于等于零。
所以，二次项系数a＞0，最小值（4-a）/4≤0.
所以a的取值范围是a≥4。

3.f(x)的定义域为（-2,1），说明ax²+ax+1仅在x取（-2,1）时，ax²+ax+1＞0，也就是说二次函数图像位于x轴的上方。
开口必须向下，a＜0，ax²+ax+1=0的两根分别是-2和1.
得到4a-2a+1=0，a+a+1=0.
a=0.5.

解答完毕。

追问

谢谢您，我还想问第一问，若a不为0 ，为什么一定开口向上。定义域是x的取值范围又不是a的.......
第二问，为什么二次项系数a=0，ax²+ax+1=1，不符合条件，为什么啊，值域大于0正好这个等于1啊

追答

①只有a＞0，才能保证t=ax²+ax+1这个二次函数开口向上，只有开口向上，t才能取到大于零的一切实数，只有t取到大于零的一切实数，才能保证f（x）函数在x取任何值时函数都有意义。
②a=0，ax²+ax+1=1，f（x）函数只能取到一个值，也就是lg1=0，不能满足它的值域为一切实数。

Answer 2

（1）由f(x)的定义域为R知ax^2+ax+1>0恒成立，因此，a=0或（a>0且a^2-4a<0)，所以0 ≤a<4
（2）由f(x)的值域为R知a>0且存在x使ax^2+ax+1≤0恒成立，因此，a>0且a^2-4a≥0，所以a≥ 4
（3）由f(x)的定义域为(-2,1)知ax^2+ax+1>0的解集为(-2,1)，因此，-2,1是方程ax^2+ax+1=0的两个根，所以1/a=-2，a=-1/2