Question

已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠MCN=45°,将∠MCN绕C点旋转,当M在BA的延长线上时，求证MN^2=AM^2+BN^2

Answer 1

证明:作CD垂直CN,使CD=CN,点D和N在CM两侧,连接DM,DA.
∵∠MCN=45°;CD垂直CN.
∴∠DCM=∠NCM=45°.
又CD=CN,CM=CM.则⊿DCM≌⊿NCM(SAS),MD=MN.'
∵∠DCN=∠ACB=90°.
∴∠DCA=∠NCB;
又CD=CN,AC=BC.
∴⊿DCA≌⊿NCB(SAS),DA=BN;∠CAD=∠CBN=45度.
则∠CAD+∠CAB=90°,DA垂直MB.
∴MD²=AM²+DA².故MN²=AM²+BN².(等量代换)