Question

已知（根号（1+a²）+a)(根号（1+b²）+b)=1,试求a,b之间的(简单)关系式

Answer 1

(根号(1+a^2)+a)( 根号(1+b^2)+b)×(根号(1+a^2)-a)( 根号(1+b^2)-b)=(根号(1+a^2)+a)(根号(1+a^2)-a)( 根号(1+b^2)+b)( 根号(1+b^2)-b)=1

又因为已知(根号(1+a^2)+a)( 根号(1+b^2)+b）=1
所以(根号(1+a^2)-a)( 根号(1+b^2)-b)=1
所以（根号(1+a^2)+a)( 根号(1+b^2)+b）=(根号(1+a^2)-a)( 根号(1+b^2)-b）
展开化简 得
b×根号(1+a^2)=a×根号(1+b^2)
两边平方最后得到 a^2=b^2
那么a+b=0或者a=b
如果a=b，带入，(根号(1+a^2)+a)( 根号(1+b^2)+b)=1 可以得到a=b=0
综上 a+b=0

Answer 2

√(1+a²)+a=[(1+a²)-a²]/[√(1+a²)-a]=1/[√(1+a²)-a]
同理√(1+b²)+b=1/[√(1+b²)-b]
代入原式，得：1/[√(1+a²)-a][√(1+b²)-b]=1
所以[√(1+a²)-a][√(1+b²)-b]=1
而[√(1+a²)+a][√(1+b²)+b]=1
展开后两式相加，得：2√[(a²+1)(b²+1)]+2ab=2
所以√[(a²+1)(b²+1)]=1-ab
平方，得：(a²+1)(b²+1)=(1-ab)²
a²+b²+a²b²+1=1-2ab+a²b²
a²+2ab+b²=0
(a+b)²=0
那么a+b=0