Question

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx²+2√3mx+n经过P﹙√3，5﹚，A﹙0，2﹚两点。

﹙1﹚求这条抛物线的函数解析式
﹙2﹚设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l ,直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式
﹙3﹚在﹙2﹚的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标

Answer 1

解：(1)依题意，有
3m+6m+n=5
n=2
解，得
m=1/3，n=2
则该抛物线的函数解析式为
y=(1/3)*x²+(2√3/3)x+2
(2)由(1)，可知
y=(1/3)*x²+(2√3/3)x+2
=(1/3)*(x²+2√3x)+2
=(1/3)*(x²+2√3x+3-3)+2
=(1/3)*(x+√3)²+1
故顶点B的坐标为(-√3，1)
∴直线AB的直线方程为
(y-2)/(x-0)=(1-2)/(-√3-0)
∴y=(√3/3)x+2
∵直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l
∴直线l的解析式为
y=(√3/3)x
(3)由(2)，可知
直线l的解析式为y=(√3/3)x
抛物线y=(1/3)*(x+√3)²+1的对称轴为x=-√3
则y=(√3/3)×(-√3)=-1
∴点C的坐标为(-√3，-1)
∴|BC|=2且x负半轴垂直平分|BC|
而|OC|=√[(-√3)²+(-1)²]=2
同理，得|OB|=2
则|BC|=|OC|=|OB|
∴△OBC为等边三角形，边BC上的高长为√3
∴到直线OB、OC、BC距离相等的点即为△OBC
的内心，且该点在x负半轴上
又等边三角形的内心与重心重合
角对应边上的高与角对应边上的中线重合
∴△OBC的内心到顶点O的距离等于边BC上的高的2/3
∴内心与顶点O的距离为(2/3)×√3=2√3/3
∴内心坐标为(-2√3/3，0)
因此，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标为(-2√3/3，0)

Answer 2

解：
将P（√3,5）、A（0,2）代人y=mx²+2√3mx+n，
解得 m=1/3，n=2，
所以抛物线的方程为y=1/3x²+2√3/3x+2=1/3(x+√3)²+1，
顶点坐标为B(-√3,1)，
直线AB方程为y=(1-2)/(-√3)x+2=√3/3x+2，
沿Y轴向下移动两个单位得到直线l y=√3/3x，
抛物线的对称轴为x=-√3，则C（-√3，-1），
可见BC关于x轴对称，
S△OBC=1/2*√3*2=√3。

Answer 3

(3)m有四种情况（0，-2）（0,2）（-2根3,0）（-2根3/3,0）