Question

怪数学题

6=2×3因数是1,2,3,6共有4个
12=2×2×3=2²×3¹，因数是1,2,3,4,6,12共有6个
18=2×3×3=2¹×3²，因数是1,2,3,4,6,9,18共有7个
24=2×2×2×3=2³×3¹，因数是1,2,3,4,6,8,·12共有8个
36=2×2×3×3=2²×3²，共有9个因数
根据上述过程推测
720有___个因数
Y=2m×3n×5a【这里mna为上标符号】
Y=2m×3n×5a【这里mna为上标符号】共有个因数？

Answer 1

首先纠正你一个失误：
18=2×3×3=2¹×3²，因数是1,2,3,4,6,9,18共有7个 →→→→→→→难道4也是因数吗？

自然数N的质因数分解式是
N = A^a * B^b * C^c * …… * M^m ①
其中 A ＜ B ＜ C ＜ …… ＜ M ； a、b、c、m都是自然数；
那么形如 A^ak * B^bk * C^ck * …… * M^mk ②
的数(其中ak、bk等都是非负整数，只要ak ≤ a)都是N的因数。
反过来，自然数N的因数也必定是形如②的数。

由于 ak 有 (a + 1) 种选择,即0、1、2、…、a)，bk有(b + 1) 种选择，………，mk有(m + 1) 种选择，所以N的(正)因数的个数为
(a + 1)*(b + 1)*(c + 1)，………*(m + 1)

对你的问题：
6 = 2^1 * 3^1，所以 a = 1， b = 1； 因数的个数为(1 + 1)*(1 + 1) = 4
12 = 2^2 * 3^1，所以 a = 2， b = 1； 因数的个数为(2 + 1)*(1 + 1) = 6
18 = 2^1 * 3^2，所以 a = 1， b = 2； 因数的个数为(1 + 1)*(2 + 1) = 6
24 = 2^3 * 3^1，所以 a = 3， b = 1； 因数的个数为(3 + 1)*(1 + 1) = 8
36 = 2^2 * 3^2，所以 a = 2， b = 2； 因数的个数为(2 + 1)*(2 + 1) = 9
720 = 2^4 * 3^2 * 5，所以 a = 4， b = 2； c = 1； 因数的个数为(4 + 1)*(2 + 1)*(1 + 1) = 30
一般地：
Y=2m×3n×5a【这里mna为上标符号】共有 (m+1)(n+1)(a+1) 个因数

最后，再给你一个比较难一点题目，你自己思考：
如果一个自然数N可以分解为①的形式，即
N = A^a * B^b * C^c * …… * M^m
A、B、……、M都是质数，那么有两个结论：
1. N的正因数的个数为： (a + 1)*(b + 1)*(c + 1)，………*(m + 1)
2. N的所有正因数的总和为：
(1 + A + A^2 + A^3 + …… + A^a)*(1 + B + …… + B^b)*………*(1 + M + M^2 + …… + M^m)
数字很大的时候可以用等比数列之和进行简化(略)

Answer 2

6=2×3因数是1,2,3,6共有4个
12=2×2×3=2²×3¹，因数是1,2,3,4,6,12共有6个
18=2×3×3=2¹×3²，因数是1,2,3,6,9,18共有6个
24=2×2×2×3=2³×3¹，因数是1,2,3,4,6,8,·12共有8个
36=2×2×3×3=2²×3²，共有9个因数
根据上述过程推测
720有_30_个因数 720=2^4×3^2×5 5*3*2
Y=2m×3n×5a【这里mna为上标符号】

问题补充：Y=2m×3n×5a【这里mna为上标符号】共有(m+1)(N+1)(a+1)个因数

追问

(m+1)(N+1)(a+1)中间符号是+是×？

追答

(m+1)(N+1)(a+1)中间省略的是乘号。

Answer 3

Y=2^m*3^n*5^a
因数应为4+（m-1）*2+（n-1）*3+a*5=2*m+3*n+5*a-1
720=2^4×3^2×5

因数为4+6+3+5=18个

Answer 4

90个

Answer 5

11