Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上的点，且AE⊥BD，交BD的延长线于E，又AE=2分之1BD。

求证：BD是∠ABC的角平分线。

Answer 1

证明：延长AE，BC相交于点F。
因为 AE垂直于BD于E，
所以 角BEF=90度，
因为 角ACB=90度，
所以 角F+角EDC=180度，
又因为 角BDC+角EDC=180度，
所以 角F=角BDC，
又因为 AC=BC，角ACF=角ACB，
所以 三角形AFC全等于三角形BDC，
所以 BD=AF，
因为 AE=1/2BD，
所以 AE=1/2AF，E是AF的中点
又因为 AE垂直于BD，
所以 BD是AF的垂直平分线，
所以 AB=FB，三角形AFB是等腰三角形，
所以 BD是角ABC的平分线。

Answer 2

延长AE，BC交与F
在△CAF和△CBD中
∠BCA=∠ACF
AC=BC
∠ABD=∠ACF
∴△CAF≌△CBD（ASA）
∴BD=AF
又∵AE=1/2BD
∴AE=1/2AF，即AE=EF
在△ABE和△FBE中
AE=FE
∠AEB=∠FEB
BE=BE
∴△ABE≌△FBE（SAS）
∴∠ABE=∠FBE
∴BD平分∠ABC