Question

初三求解一道证明题

如图所示,已知圆O的弦AB、CD互相垂直,CE⊥AD于点E,求证:BC=2OE

Answer 1

分析，
首先，更正一点，是OE⊥AD。
其次，BC和OE没有直接的联系，必定要作辅助线，根据圆的性质来证明。

证明：
连接AO ，并延长AO交圆O于点E，
连接BE,DE，
AE是圆O的直径，
∴∠ADE=90º
又OE⊥AD
∴OE∥DE，又AO=EO
∴ED=2OE，
根据圆弧对应的圆周角都相等，
∴∠ABC=∠ADC
又，AB⊥CD，
∴∠BCD=90º-∠ABC
∠EDC=90º-∠ADC
∴∠BCD=∠EDC
∵AE是圆O的直径，
∴∠ABE=90º，AB⊥BE
又，AB⊥CD
∴CD∥BE，又∠BCD=∠EDC，且BE≠CD
∴四边形BCDE是等腰梯形，
∴BC=ED，
又，ED=2OE
∴BC=2OE。

追问

做辅助线的E点和OE重复了。。所以搞不清哪个是哪个了T T

追答

抱歉，在草纸上写重复了，我自己都不知道，呵呵。

证明：
连接AO ，并延长AO交圆O于点F，
连接BF,DF，
AF是圆O的直径，
∴∠ADF=90º
又OE⊥AD
∴OE∥DF，又AO=OF
∴FD=2OE，
根据圆弧对应的圆周角都相等，
∴∠ABC=∠ADC
又，AB⊥CD，
∴∠BCD=90º-∠ABC
∠FDC=90°-∠ADC，
∴∠BCD=∠FDC。
AF是圆O的直径，
∴∠ABF=90º，AB⊥BF
又，AB⊥CD
∴CD∥BF，又∠BCD=∠FDC,且BF≠CD
∴四边形BCDF是等腰梯形，
∴BC=FD,
又，FD=2OE
∴BC=2OE。

Answer 2

证明：
连接CO并延长交圆0于G，连接BD，连接DO并延长交圆0于F，CD，AB交于点H
∵角CBG=90，角BHD=90，角BGC=角BDC(相同弧所对的圆周角相等)
∴角BCG=角ABD=角AFD(相同弧所对圆周角相等)
∵角FAD=90
∴角FDA=角BGC
∵FD=CG(同为圆0直径))
∴△FAD≌△CBG
∴BC=AF
∵2OE=AF
∴BC=2OE