初三求解一道证明题

如图所示,已知圆O的弦AB、CD互相垂直,CE⊥AD于点E,求证:BC=2OE... 如图所示,已知圆O的弦AB、CD互相垂直,CE⊥AD于点E,求证:BC=2OE 展开
风钟情雨钟情
2012-09-15 · TA获得超过1.2万个赞
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分析,
首先,更正一点,是OE⊥AD。
其次,BC和OE没有直接的联系,必定要作辅助线,根据圆的性质来证明。

证明:
连接AO ,并延长AO交圆O于点E,
连接BE,DE,
AE是圆O的直径,
∴∠ADE=90º
又OE⊥AD
∴OE∥DE,又AO=EO
∴ED=2OE,
根据圆弧对应的圆周角都相等,
∴∠ABC=∠ADC
又,AB⊥CD,
∴∠BCD=90º-∠ABC
∠EDC=90º-∠ADC
∴∠BCD=∠EDC
∵AE是圆O的直径,
∴∠ABE=90º,AB⊥BE
又,AB⊥CD
∴CD∥BE,又∠BCD=∠EDC,且BE≠CD
∴四边形BCDE是等腰梯形,
∴BC=ED,
又,ED=2OE
∴BC=2OE。
追问
做辅助线的E点和OE重复了。。所以搞不清哪个是哪个了T T
追答
抱歉,在草纸上写重复了,我自己都不知道,呵呵。

证明:
连接AO ,并延长AO交圆O于点F,
连接BF,DF,
AF是圆O的直径,
∴∠ADF=90º
又OE⊥AD
∴OE∥DF,又AO=OF
∴FD=2OE,
根据圆弧对应的圆周角都相等,
∴∠ABC=∠ADC
又,AB⊥CD,
∴∠BCD=90º-∠ABC
∠FDC=90°-∠ADC,
∴∠BCD=∠FDC。
AF是圆O的直径,
∴∠ABF=90º,AB⊥BF
又,AB⊥CD
∴CD∥BF,又∠BCD=∠FDC,且BF≠CD
∴四边形BCDF是等腰梯形,
∴BC=FD,
又,FD=2OE
∴BC=2OE。
呐喊的汪人
2012-09-15 · TA获得超过1.4万个赞
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证明:
连接CO并延长交圆0于G,连接BD,连接DO并延长交圆0于F,CD,AB交于点H
∵角CBG=90,角BHD=90,角BGC=角BDC(相同弧所对的圆周角相等)
∴角BCG=角ABD=角AFD(相同弧所对圆周角相等)
∵角FAD=90
∴角FDA=角BGC
∵FD=CG(同为圆0直径))
∴△FAD≌△CBG
∴BC=AF
∵2OE=AF
∴BC=2OE
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