Question

在△ABC中,MB,NC分别是三角形的内角∠ABC,∠ACB的角平分线,AM⊥BM,AN⊥CN垂足分别是M、N。

在△ABC中,MB,NC分别是三角形的内角∠ABC,∠ACB的角平分线,AM⊥BM,AN⊥CN垂足分别是M、N。求证：MN∥BC，MN=1/2（AB+AC-BC）

Answer 1

证明：延长AM交BC于E，延长AN交BC于N
∵AM平分∠ABC
∴∠ABM＝∠CBM
∵AM⊥BM
∴∠BMA＝∠BME＝90
∵BM＝BM
∴△ABM≌△EBM （ASA）
∴AM＝EM，AB＝EB
同理可得：AN＝FN。AC＝FC
∴MN是△AEF的中位线
∴MN＝EF/2,MN∥BC
∵CE＝BC-BE，BF＝BC-CF
∴CE＝BC-AB，BF＝BC-AC
∴EF＝BC-CE-CF＝BC-（BC-AB）-（BC-AC）＝AB+AC-BC
∴MN＝（AB+AC-BC）/2