Question

数列{An}中，A1=三分之二，A（n+1）=An+1分之2An，求{An分之n}的前n项和

Answer 1

a(n＋1)=(2an)/[an＋1]
1/[a(n＋1)]=(1/2)[1/an]＋(1/2)
设：1/a(n＋1)=b(n＋1)，1/an=bn，则：
b(n＋1)=(1/2)bn＋(1/2)
2b(n＋1)=bn＋1
2b(n＋1)－2=bn－1
[b(n＋1)－1]/[bn－1]=1/2=常数，则：
数列{bn－1}是以b1－1=[1/a1]－1=1/2为首项、以q=1/2为公比的等比数列，得：
b(n)－1=(1/2)^n
[1/(an)]－1=(1/2)^n
1/(an)=1＋(1/2)^n
[n]/[a(n)]=n＋n×(1/2)^n
可以采用分组求和：对于n×(1/2)^n可以采用错位法求和。