Question

一道高中数学题，请高手详细作答

已知直线L：3x+4y-12=0,若圆上恰好存在两个点PQ，他们到直线L的距离为1，则称该圆为“完美型”圆。则下列圆中是“完美型”圆的是
Ax^2+y^2=1
Bx^2+y^2=16
C(x-4)^2+(y-4)^2=1
D(x-4)^2+(y-4)^2=16

Answer 1

解：在一个圆上恰好存在两个点P、Q使得他们到直线L的距离为1
也就是说，直线PQ∥直线L
也就是说，所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径
因此设直线PQ为3x+4y+m=0
由两平行线间的距离公式可得m=-7或者-17
将两个m值分别代入直线PQ验证A、B、C、D中圆心到PQ的距离
只有D符合，具体验证过程，自己做吧

追问

B为何不对？

追答

解：B选项可知其圆心为（0,0），半径为4
当m=-7时，PQ为3x+4y-7=0
圆心到PQ的距离为7/5<4
当m=-17时 PQ为3x+4y-17=0
圆心到PQ的距离为17/5<4
∴存在四个点到直线L的距离为1，与定义矛盾，所以B选项错误。
点到直线的距离公式，应该会吧

Answer 2

朋友，由定义来判断啦，简单的，动脑。