Question

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=1/2 BD，DF垂直AB于F。

如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=1/2 BD，DF垂直AB于F。求证：CD=DF
请不要用到“等腰三角形的性质”只用“全等三角形和角平分线性质”！谢谢
O(∩_∩)O

Answer 1

证明：延长AE与BC的延长线交于点G
∵∠ACB＝90
∴∠ACG＝∠ACB＝90, ∠CBD+∠CDB＝90
∵AE⊥BD
∴∠BEA＝∠BEG＝90
∴∠CAG+∠ADE＝90
∵∠CDB＝∠ADE
∴∠CBD＝∠CAG
∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCD （ASA）
∴AG＝BD
∵AE＝1/2BD
∴AE＝1/2AG
∴AE＝GE，E是AG的中点
∴BE垂直平分AG
∴AB＝GB
∴△ABE≌△GBE （SAS）
∴∠ABE＝∠GBE
∵DF⊥AB
∴CD＝DF （角平分线性质）