Question

正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，

正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC。（1）求证：△AEG是等腰直角三角形;（2）求证：AG+CG=√2倍DG：（3）若AB=2,P为AB的中点，求点BF的长。

Answer 1

这题的确有些纠结。以下我写得较详细，便于你理解，正式答题可简化。

（1）
∵AE⊥DF， DE=EF
∴△ADF是等腰三角形（等腰三角形底边上的高线平分底边）
∴AF=AD，∠AFD =∠ADF
又∵∠ADE =∠PAE（同为∠DAE的余角）
∴∠AFE = ∠PAE
而∠AFE +∠FAE = 90°，∠FAG =∠GAP
∴∠AFE +（∠PAE + 2∠GAP）= 2∠PAE + 2∠GAP = 90°，即∠GAE=45°
∴△AEG是等腰直角三角形

（2）
作CH⊥DP，垂足H，则∠DCH +∠CDH = 90°，
而∠ADC = 90°，AD = DC
∴△ADE ≌ △DCH
∴ CH = DE， DH = AE
又∵HG = DE = CH
∴△CHG也是等腰直角
由勾股定理，得CG=√2倍CH，AG=√2倍EG
∴AG+CG=√2倍DG；

（3）
延长DF、CB并交于M
由P为AB的中点，即AP = BP
得△ADP ≌ △BMP（ASA），BM = AD = BC，即B为CM的中点
再由AF = AD = AB，AG平分∠BAF
得BF⊥AG （等腰三角形底边上的高线平分顶角）
而∠AGE +∠CGH = 45° x 2 = 90°，即CG⊥AG
∴BF∥CG
根据三角形中位线定理，得BF = 1/2 CG
已知AB=2，则AD=2,
由勾股定理，得DP=√5，则DE+PE =√5，
AE ^2 +DE ^2 = AD ^2 = 4
AE ^2 +PE ^2 = AP ^2 = 1
解上述方程组，得 DE = 4/5倍√5
再由CG=√2倍CH，CH = DE，得CG = 4/5倍√10
∴BF = 1/2 CG = 2/5倍√10