Question

{An}为等差数列，且A1+A2n-1=2n，Sn为数列{1/An）的前n项的和，设f(n)=S2n-Sn

（1）求数列{An}的通项公式An，并比较f(n)与f(n+1)的大小
（2）若g(x)=log2X-12f(n)＜0，在x∈【a，b】且对任意n＞1，n∈N*恒成立，求实数a，b满足的条件

Answer 1

（1）因为An是等差数列，根据A1+A2n-1=2n,得：A1+A1=2,得A1=1,又A1+A3=4，得A1+A1+(n-1)d=4,d=1,所以An=1+(n-1)*1=n.
又Sn=1+1/2+1/3+.......+1/n.。f(n)=S2n-Sn=1/n+1+.......+1/2n
f(n+1)=S2n+2-Sn+1=1/n+2+....+1/2n+2
f(n+1)-f(n)=1/n+2+1/n+3+.....+1/2n+2-(1/n+1+1/n+2+........+1/2n)=1/2n+1+1/2n+2-1/n+1=1/2n+1-1/2n+2>0,所以f(n)<f(n+1)

(2)g(x)=log2x-12f(n)<0 得log2x<12f(n),又因f(n)<f(n+1),f(2)=1/3+1/4=<f(n),所以log2x<12*(1/3+1/4)
得log2x<7,2x<128,x<64,又x>0,所以a,b满足的条件为：0<a<b<64.
解答完毕。希望能帮帮助到你。