Question

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1-x）f′（x）的图象如图所示

则下列结论中一定成立的是A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2）D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）

另，为什么y=1不是极值，为什么不讨论

Answer 1

图像是函数y=(1-x)f'(x)的图像，其中x=1是因子(1-x)带来的根
∴f'(x)=0的根其实只有-2和2，即函数f(x)只在x=-2和2处取得极值
而(1-x)为减函数，∴f'(x)的增减性正好与图中所示相反
当x≤1时，1-x≥0，f'(x)的符号与y的符号相同，即图中在x=1左边的图像符号与f'(x)相同
当x≥1时，1-x≤0，f'(x)的符号与y的符号相反，即图中在x=1右边的图像符号与f'(x)相反
将x=1右边的图像反号后，可得
f'(x)在[-2,2]上小于等于0，在(-∞,-2]∪[2,+∞)上大于等于0
∴函数f(x)在(-∞,-2]上为增函数，在[-2,2]上为减函数，在[2,+∞)上为增函数
∴函数f(x)在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值
可知，答案选 D

Answer 2

由函数的图象可知，f′（-2）=0，f′（2）=0，并且当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（-2）．
又当1＜x＜2时，1-x<0,y>0 所以f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．
故选D．