Question

已知函数f（x)的图像与函数h（x）=x+1\x+2的图像关于点A（0,1）对称。

若g(x)=f(x)+a\x,且g(x)在（0,2）（注：后为闭区间）上为减函数，求实数a的取值范围 ？？网上的答案是错的，我要正确的》谢谢。

Answer 1

两个函数f(x),g(x)关于一个点对称，只要f(a-x)+g(a+x)=2b （a,b为常数）

所以由题意得 f(-x)+h(x)=2 解得 f(x)=x+1/x
所以g(x)=x + (1+a)/x
如果你学过求导的话，很容易做
对g(x)求导，g(x)的导数=1 - (1+a)/x^2
要在(0,2]区间为减函数，则1 - (1+a)/x^2在这个区间内小于零即可
该式通分可得(x^2 - 1 - a)/x^2
由于分母恒为正，所以只要分子为负即可
x^2 - 1 - a < 0
所以 a > x^2 - 1
因为 x^2最大为4
所以a > 3就能能满足要求，答案为 a > 3
如解答有错误，请指教

Answer 2

(1)若h(x)对应x和y,且f(x)对应x'和y',
{即(x，y)是h(x)上的点,(x'，y')是f(x)上的点}
那么根据条件，就有y+y'=2,x+x'=0
从而得到y'=2-y=2-x-(1/x)-2=-x-(1/x)=x'+(1/x')
即函数f(x)=x+(1/x)
(2)g(x)=f(x)*x+ax
=x^2+ax+1
要使g(x)在区间(0.2]上为减函数
则对称轴方程-a/2≥2即可
得a≤-4
也可以用求导做:
在区间(0.2]上,
g'(x)=2x+a≤0
使g'(2)=4+a≤0即可,
得a≤-4