Question

在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC边的中点，角BAE=角EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、C...

在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC边的中点，角BAE=角EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

答案是：AB=AF+FC

证明：延长AF至G，使得FG=FC，则△FCG是等腰三角形，∠FCG=∠FGC为两底角，又三角形外角定理，∠AFC=∠FCG+∠FGC=2∠FGC-----（1）
因为∠EAB=∠EAF，又AB//DC，则∠AFC=∠BAF=2∠EAF-----(2)
由（1）、（2）得∠FGC=∠EAF，则AE//CG（内错角相等，两直线平行）
即EH//CG（注意△BCG）
在△BCG中，E点为BC中点，又EH//CG，则
EH为△BCG的中位线
所以，BH=GH
在△AHG和△AHB中：
AH=AH
BH=GH
∠BAH=∠GAH
故△AHG≌△AHB
则 AB=AG
AB=AG=AF+FG=AF+FC

Answer 2

AB=AF+CF

延长AE,交DC的延长线于点H，
∵AB∥DC
∴AB∥DH
∵E为BC边的中点
∴BE=CE
∴⊿HCE≌⊿ABE
CH=AB
∵AB∥CH
∴∠BAE＝∠H
∵∠EAF＝∠BAE
∴∠EAF＝∠H
∴AF=FH
∵CH=CF+FH
∴CH=CF+AF
∴AB=AF+CF

Answer 3

没图