求y''-2y'+y=3xe^x的通解
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解：∵齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程式r²-2r+1=0，则r=1
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=(Ax³+Bx²)e^x
代入原方程，化简整理得(6Ax+2B)e^x=3xe^x
==>6A=3,2B=0
==>A=1/2,B=0
∴原方程的一个解是y=x³e^x/2
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^x+x³e^x/2 (C1,C2是积分常数)。
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是积分常数)
∵设原方程的解为y=(Ax³+Bx²)e^x
代入原方程，化简整理得(6Ax+2B)e^x=3xe^x
==>6A=3,2B=0
==>A=1/2,B=0
∴原方程的一个解是y=x³e^x/2
故原方程的通解是y=(C1x+C2)e^x+x³e^x/2 (C1,C2是积分常数)。
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