Question

∫max{t^3,t^2,1}dt积分

求解释详细过程，集合最大值怎么变化？

Answer 1

首先要知道：
当t<-1时，max{t³，t²，1}=t²
当-1≤t≤1时，max{t³，t²，1}=1
当t>1时，max{t³，t²，1}=t³

下面要对x的取值做讨论
1、当x<-1时，
∫[0→x] max{t³，t²，1} dt
=-∫[x→0] max{t³，t²，1} dt
=-∫[x→-1] max{t³，t²，1} dt - ∫[-1→0] max{t³，t²，1} dt

=-∫[x→-1] t² dt - ∫[-1→0] 1 dt
=-(1/3)t³ |[x→-1] - 1
=(1/3) + (1/3)x³ -1
=(1/3)x³ - 2/3

2、当-1≤t≤0时，
∫[0→x] max{t³，t²，1} dt
=-∫[x→0] max{t³，t²，1} dt
=-∫[x→0] 1 dt
=x

3、当0≤t≤1时，
∫[0→x] max{t³，t²，1} dt
=∫[0→x] 1 dt
=x

4、当x>1时
∫[0→x] max{t³，t²，1} dt
=∫[0→1] max{t³，t²，1} dt + ∫[1→x] max{t³，t²，1} dt
=∫[0→1] 1 dt + ∫[1→x] t³ dt
=1 + (1/4)x^4 |[1→x]
=1 + (1/4)x^4 - (1/4)
=(1/4)x^4 + 3/4

因此最终积分结果是一个分段函数：
∫[0→x] max{t³，t²，1} dt=(1/3)x³ - 2/3 x<-1

x -1≤t≤1
(1/4)x^4 + 3/4 x>1

Answer 2

x没范围吗，那就要讨论了。