Question

已知如图,点C是线段AB上的任意一点,分别以AC,BC作等边△ACD和等边△BCE，连接CD,AE交于M，BD,CE交于N

若AB为10cm，当c在线段AB上移动时，是否存在这样一点C，使MN最长，并求出MN的长，要有过程，急！！！
拜托啦，求高手

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Answer 1

答：存在这样一点C。
解：∵△ACD和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠ECB=∠DCE=60°，AC=DC，EC=CB。∴∠DCB=∠ACE。∴ △ACE≌△DCB(SAS)。∴∠ AEC=∠DBC。∴△MCE≌△NCB(ASA)。∴MC=NC。又∠DCE=60°，∴△MCN是等边三角形。∴∠MNC ∠ECB。∴MN∥AB。 =∠
∴△EMN∽△EAC。∴EN：EC=MN：AC即（EC-MN）：EC=MN：AC。
设BC=x，则AC=10-x，所以（x-MN）：x=MN：（10-x），即（x-MN）：MN=x：（10-x），
即x：MN=10：：（10-x），∴:10MN=x（10-x），
即MN=(1/10)(10x-x^2)=-(1/10)(x-5)^2+2.5，
∴当x=5即BC=5也就是C点为AB中点时，MN最长，为2.5。

追问

MN=(1/10)(10x-x^2)=-(1/10)(x-5)^2+2.5，
∴当x=5即BC=5也就是C点为AB中点时，MN最长，为2.5。这步不太懂。我上初三，这个是不是超范围了

追答

根据二次函数图像的顶点坐标可以理解的。

Answer 2

答：存在这样一点C。
解：∵△ACD和△BCE 是等边三角形，∴∠ACD=∠ECB=∠DCE=60°，AC=DC，EC=CB。∴∠DCB=∠ACE。∴ △ACE≌△DCB(SAS)。∴∠ AEC=∠DBC。∴△MCE≌△NCB(ASA)。∴MC=NC。又∠DCE=60°，∴△MCN是等边三角形。∴∠MNC ∠ECB。∴MN∥AB。 =∠
∴△EMN∽△EAC。∴EN：EC=MN：AC即（EC-MN）：EC=MN：AC。
设BC=x，则AC=10-x，所以（x-MN）：x=MN：（10-x），即（x-MN）：MN=x：（10-x），
即x：MN=10：：（10-x），∴:10MN=x（10-x），
即MN=(1/10)(10x-x^2)=-(1/10)(x-5)^2+2.5，
∴当x=5即BC=5也就是C点为AB中点时，MN最长，为2.5。